已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1.
(1)求a、b的值;
(2)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(3)若在區(qū)間[-1,2]上,f(x)<a 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)在x=1處有極小值-1,得到f′(1)=0,f(1)=-1,代入數(shù)據(jù)寫出關(guān)于a,b的方程組,就方程組即可;
(2)將a,b的值代入可得f(x)的解析式,求出導(dǎo)函數(shù)f′(x),利用f′(x)>0,得到增區(qū)間,利用f′(x)<0,得到f(x)的減區(qū)間,從而得到答案;
(3)將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,從而得到關(guān)于a的不等式,求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1,
∴f′(1)=0,f(1)=-1,
∴3-6a+2b=0  ①
1-3a+2b=-1   ②
解關(guān)于a,b的方程組得a=
1
3
,b=-
1
2
;
(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-x,
∴f′(x)=3x2-2x-1,
令f′(x)>0,可得x<-
1
3
或x>1,令f′(x)<0,可得-
1
3
<x<1,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-
1
3
)和(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-
1
3
,1);
(3)由(2)可知,f(x)在(-1,-
1
3
)上單調(diào)遞增,在(-
1
3
,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,
f(x)在x=-
1
3
處取得極大值f(-
1
3
)=
5
27
,又f(2)=2,
∴f(x)的最大值為f(2)=2,
∵在區(qū)間[-1,2]上,f(x)<a 恒成立,即f(x)max<a,
∴a>2,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>2.
點(diǎn)評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān).本題還考查了函數(shù)的恒成立問題,一般選用參變量分離的方法進(jìn)行處理,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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