Question

已知關(guān)于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0的兩根為sinθ和cosθ（θ∈（0，π）），求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（3）方程的兩根及此時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由于關(guān)于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0有兩根，可得△≥0，解得m≥

3+2 2

2

或m≤

3-2 2

2

．（*）
由根與系數(shù)的關(guān)系可知，sin θ+cos θ=

2m+1

2

，sin θ•cos θ=m，即可解得m．
（2）利用（1）即可得出．
（3）利用（1）（2）即可得出．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0有兩根，
∴△≥0，解得m≥

3+2 2

2

或m≤

3-2 2

2

．（*）
由根與系數(shù)的關(guān)系可知，sin θ+cos θ=

2m+1

2

①
sin θ•cos θ=m②
將①式平方得1+2sin θ•cos θ=

(2m+1)2

4

，
把sin θ•cos θ=m，代入②得1+2m=

(2m+1)2

4

，
化為（2m+1）（2m-3）=0，解得m=-

1

2

或

3

2

．
m=

3

2

不符合題意，應(yīng)舍去．
∴m=-

1

2

．
（2）由m=-

1

2

，可得2x²-（2m+1）x+2m=0為x²=

1

2

．
∴x=±

2

2

．
∵θ∈（0，π），
∴sinθ=

2

2

，cosθ=-

2

2

．
∴θ=

3π

4

．
∴

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

=

2 2

1+1

+

2 2

1+1

=

2

2

；
（3）由（2）可知：sinθ=

2

2

，cosθ=-

2

2

．
∴θ=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)的化簡，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．