Question

為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，當(dāng)a、b各為（　　）米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）？

• A、a=2，b=9
• B、a=9，b=2
• C、a=3，b=6
• D、a=6，b=3

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．

解答： 解：經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y=

k

ab

（k＞0為比例系數(shù)），
要求y的最小值，只需求ab的最大值．
其中a、b滿足2a+4b+2ab=60，b=

30-a

2+a

．
記u=ab=

(30-a)a

2+a

（0＜a＜30）．
由u'=

64-(a+2)2

(a+2)2

，令u'=0得a=6．
且當(dāng)0＜a＜6時(shí)，u'＞0，當(dāng)6＜a＜30時(shí)u'＜0，
∴u=

(30-a)a

2+a

在a=6時(shí)取最大值，此時(shí)b=3．
從而當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=3時(shí)，y=

k

ab

取最小值．
故選D．

點(diǎn)評：本小題主要考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識．