Question

（2008•湖北模擬）已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，則θ的取值范圍是（　　）

• A．(0，π)∪(

  2

  3

  π，2π)
• B．(0，

  π

  2

  )∪(π，

  3

  2

  π)
• C．(

  π

  4

  ，

  π

  2

  )∪(

  5

  4

  π，

  3

  2

  π)
• D．(

  π

  2

  ，

  3

  4

  π)∪(

  5

  4

  π，

  3

  2

  π)

Answer 1

分析：由已知的sinθ＜tanθ，移項(xiàng)并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形后得到tanθ（1-cosθ）大于0，由余弦函數(shù)的值域得到1-cosθ大于0，從而得到tanθ大于0，可得出θ為第一或第三象限，若θ為第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化簡(jiǎn)|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到tanθ大于1，利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出此時(shí)θ的范圍；若θ為第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化簡(jiǎn)|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到tanθ大于1，利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出此時(shí)θ的范圍，綜上，得到滿(mǎn)足題意的θ的范圍．

解答：解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ-sinθ＞0，
∴tanθ（1-cosθ）＞0，
由1-cosθ＞0，得到tanθ＞0，
當(dāng)θ屬于第一象限時(shí)，sinθ＞0，cosθ＞0，
∴|cosθ|＜|sinθ|化為cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，
則θ∈（

π

4

，

π

2

）；
當(dāng)θ屬于第三象限時(shí)，sinθ＜0，cosθ＜0，
∴|cosθ|＜|sinθ|化為-cosθ＜-sinθ，即tanθ＞1，
則θ∈（

5π

4

，

3π

2

），
綜上，θ的取值范圍是(

π

4

，

π

2

)∪(

5

4

π，

3

2

π)．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，象限角的范圍，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意利用不等式的基本性質(zhì)及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得出tanθ＞0是解本題的關(guān)鍵．