Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，試討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若有兩個零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；(2) 當時，恰有一個零點：當時，沒有零點；當時，有兩個零點；(3)見解析

【解析】

（1）求導后，分別在和兩種情況下討論導函數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)最大值為，分別在，，三種情況下，結(jié)合零點存在定理判斷出零點個數(shù)；（3）根據(jù)零點的定義可求得，令，，可將整理為；令，，可求得，結(jié)合即可證得結(jié)論.

（1）由題意得：

當時，在上恒成立

則在上單調(diào)遞減

當時，若，，；若，

即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

（2）當時，，則

令，解得：

當時，，則在上單調(diào)遞減

當時，，則在上單調(diào)遞增

①當，即時，當且僅當時，，恰有一個零點；

②當，即時，恒成立，沒有零點：

③當，即時，，，

， 有兩個零點

綜上：當時，恰有一個零點：當時，沒有零點；當時，有兩個零點

（3）證明：

由題意知：，即

記，，則，故

，

記函數(shù)，

則 在上單調(diào)遞增

當時，

由（2）知，

又