Question

【題目】已知函數(shù)，，，令.

（Ⅰ）研究函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（Ⅲ），正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 的單增區(qū)間為.

(2)2.

(3)見解析.

【解析】分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)大于0得到增區(qū)間；

（2）不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，應(yīng)先求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)的最值；

（3）聯(lián)系函數(shù)的單調(diào)性，然后證明即可，注意對函數(shù)的構(gòu)造.

詳解：（1），，

由，得，又，所以，所以的單增區(qū)間為.

（2）方法一：令，

所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以.所以在上是遞增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，

所以關(guān)于的不等式不能恒成立.當(dāng)時(shí)，

.

令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)?/span>，，又因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.所以整數(shù)的最小值為.

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立.

問題等價(jià)于在上恒成立.令，只要.因?yàn)?/span>

，令，得.設(shè)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)的根為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).

所以.因?yàn)?/span>，

所以.此時(shí)，.所以，即整數(shù)的最小值為.

（3）當(dāng)時(shí)，， 由，即

從而

令，則由得，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，所以，即成立.