Question

20．如果對定義在R上的函數f（x），對任意兩個不相等的實數x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數f（x）“H函數”．下列函數是“H函數”的所有序號為①③．
①y=e^x+x；②y=x²；③y=3x-sinx；④$\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數為單調遞增函數，判斷函數的單調性即可得到結論．

解答 解：∵對于任意給定的不等實數x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，即函數f（x）是定義在R上的增函數．
對于①，y=e^x+x為增函數，滿足條件．
對于②，函數y=x²在定義域上不單調，不滿足條件．
對于③，y=3x-sinx，y′=3-cosx＞0，函數單調遞增，滿足條件．
對于④，當x＞0時，函數單調遞增，當x＜0時，函數單調遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數”的函數為①③，
故答案為：①③

點評 本題主要考查函數單調性的應用，將條件轉化為函數的單調性的形式是解決本題的關鍵，屬于中檔題．