Question

已知函數(shù)f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我們稱使f（x）=0成立的x為函數(shù)的零點(diǎn)．證明：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲證明當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，只須證明f（x）在（0，1）為增函數(shù)即可，最后只須證明f′（x）＞0即可；
（II）先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立問題，列出關(guān)于a的不等關(guān)系解之即得．

解答：（Ⅰ）證明：∵f′(x)=-

(2x+1)(x-1)

x

(x＞0)f（x）在（0，1）為增函數(shù)，
在（1，+∞）上為減函數(shù)．∴f（x）的最大值為f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)．（4分）
（Ⅱ）解：∵f′(x)=-

2a2x2-ax-1

x

=-

(2ax+1)(ax-1)

x

①當(dāng)a=0時(shí)，不成立．
②當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＜0，得x＞

1

a

，∴

1

a

≤1，a≥1．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＜0，得x＞-

1

2a

，∴-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

綜上得：a∈(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．