Question

把圓周分成四等份，A是其中一個(gè)分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四個(gè)分點(diǎn)上按逆時(shí)針方向前進(jìn)，現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個(gè)面上分別寫有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，P從A點(diǎn)出發(fā)，按照正四面體底面上數(shù)字前進(jìn)幾個(gè)分點(diǎn)，轉(zhuǎn)一周之前連續(xù)投擲．
（1）求點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的概率；
（2）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一周恰能返回A點(diǎn)的所有結(jié)果中，求至少需投擲3次點(diǎn)P才能返回A的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，分類討論求得轉(zhuǎn)一周之前點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的概率．
（2）由（1），把投擲三次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的概率和投擲四次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的概率相加，即得所求．

解答： 解：（1）投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，四面體每個(gè)面上的數(shù)字在底面上的概率是相等的，都等于

1

4

，
若投擲一次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)，則四面體的底面上的數(shù)字為4的概率為

1

4

，
若投擲二次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)，則四面體的底面上的數(shù)字分別為（1，3）、（3，1）、（2，2），
共3種結(jié)果，其概率為3×(

1

4

)3=

3

16

，
若投擲三次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)，則四面體的底面上的數(shù)字分別為（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1），
共3種結(jié)果，其概率為 3×(

1

4

)3=

3

64

，
若投擲四次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)，則四面體的底面上的數(shù)字分別為（1，1，1，1），共一種結(jié)果，
其概率為(

1

4

)4=

1

256

．
綜上可得，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的概率為

1

4

+

3

16

+

3

64

+

1

256

=

125

256

．
（2）由（1）可得，投擲三次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的概率為 3×(

1

4

)3=

3

64

，
投擲四次，點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的點(diǎn)P恰好返回A點(diǎn)的概率為

1

256

，
故至少需投擲3次點(diǎn)P才能返回A的概率為

3

64

+

1

256

=

13

256

．

在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一周恰能返回A點(diǎn)的所有的8個(gè)結(jié)果中，至少需投擲3次點(diǎn)P才能返回A的結(jié)果有：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）、（1，1，1，1），共4種結(jié)果，
故至少需投擲3次點(diǎn)P才能返回A的概率為

4

8

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．