Question

（2013•寧德模擬）已知二次函數f（x）=ax²+bx+1為偶函數，且f（-1）=-1．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若函數g（x）=f（x）+（2-k）x在區(qū)間[-2，2]上單調遞減，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由偶函數的圖象關于y軸對稱，可得b值，進而根據f（-1）=-1，可得a值，進而可得函數f（x）的解析式；
（II）若函數g（x）=f（x）+（2-k）x在區(qū)間[-2，2]上單調遞減，可得區(qū)間[-2，2]在對稱軸的右側，進而得到實數k的取值范圍

解答：解：（I）∵二次函數f（x）=ax²+bx+1為偶函數，
故函數f（x）的圖象關于y軸對稱
即x=-

b

2a

=0，即b=0
又∵f（-1）=a+1=-1，即a=-2．
故f（x）=-2x²+1
（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2-k）x=-2x²+（2-k）x+1
故函數g（x）的圖象是開口朝下，且以x=

2-k

4

為對稱軸的拋物線
故函數g（x）在[

2-k

4

，+∞）上單調遞減，
又∵函數g（x）在區(qū)間[-2，2]上單調遞減，
∴

2-k

4

≤-2
解得k≥10
故實數k的取值范圍為[10，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法，二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．