Question

函數(shù)y=log₂（-x²+2x+7）值域是________．

Answer 1

（-∞，3]
分析：由題意，函數(shù)y=log₂（-x²+2x+7）是一個復(fù)合函數(shù)，其內(nèi)層函數(shù)是t=-x²+2x+7，外層函數(shù)是y=log₂t，故可先由二次函數(shù)的性質(zhì)求出內(nèi)層函數(shù)的值域，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)y=log₂（-x²+2x+7）值域
解答：函數(shù)y=log₂（-x²+2x+7）是一個復(fù)合函數(shù)，其內(nèi)層函數(shù)是t=-x²+2x+7，外層函數(shù)是y=log₂t
由于t=-x²+2x+7═-（x-1）²+8，可得t∈（0，8]
∴y=log₂t≤log₂8=3
即函數(shù)y=log₂（-x²+2x+7）值域是（-∞，3]
故答案為（-∞，3]
點評：本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求解，此類函數(shù)值域的求解一般分兩步，先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的值域，本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解掌握復(fù)合函數(shù)值域求解的方法技巧--由內(nèi)而外，這是一個對任何類型的復(fù)合函數(shù)值域求解問題都適用的方式，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想