Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，
AD=PD=2，CD=4，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)．
①求證：EF⊥平面PAB．
②求直線(xiàn)AE與平面PAB所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①求出直線(xiàn)EF所在的向量，再求出平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)所在的向量，然后利用向量的數(shù)量積為0，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得到線(xiàn)面垂直；
②由①知

EF

=（0，1，1）是平面PAB的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可求直線(xiàn)AE與平面PAB所成的角．

解答： ①證明：以D為從標(biāo)原點(diǎn)，DC、DA、DP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則A（0，2，0），B（4，2，0），C（4，0，0），D（0，0，0，），P（0，0，2），E（2，0，0），F(xiàn)（2，1，1）
由題意可得：

EF

•

PA

=0×0+1×2+1×（-2）=0，

EF

•

PB

=0×a+1×2+1×（-2）=0
∴EF⊥PA，EF⊥PB．
∴EF⊥平面PAB；
②解：設(shè)直線(xiàn)AE與平面PAB為α，則
由①知

EF

=（0，1，1）是平面PAB的一個(gè)法向量，
∵

AE

=（2，-2，0），
∴sinα=|

-2

2 •2 2

|=

1

2

，
∴α=30°，
∴直線(xiàn)AE與平面PAB為30°．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，利于建立空間之間坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角與空間距離以及線(xiàn)面的位置關(guān)系等問(wèn)題．