Question

巳知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}三項的和為27，且滿足a₁a₃=65數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數(shù)n，點（n，S_n）都在函數(shù)圖象上．
（I） 求數(shù)列{a_n}、{b_n}通項公式；
（II）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}前n項和T_n；
（III）設(shè)，若d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等差數(shù)列{a_n}三項的和為27，可得a₂，根據(jù)a₁a₃=65，等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，可得d，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；利用點（n，S_n）都在函數(shù)圖象上，可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）利用錯位相減法可求數(shù)列的和；
（III）利用若d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，可得（-1）ⁿ（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ，再分n為正偶數(shù)、正奇數(shù)，利用分類參數(shù)法，求出相應(yīng)的最值，即可求得結(jié)論．
解答：（I）解：∵等差數(shù)列{a_n}三項的和為27，∴a₂=9
∵a₁a₃=65，∴（9-d）（9+d）=65，∴d=±4
∵等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，∴d=4，∴a₂=，5
∴a_n=4n+1；
∵點（n，S_n）都在函數(shù)圖象上．
∴當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=3ⁿ，
∵n=1時，b₁=3
∴b_n=3ⁿ；
（II）解：c_n=a_nb_n=（4n+1）•3ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}前n項和T_n=5×3+9×3²+…+（4n+1）•3ⁿ，①
∴3T_n=5×3²+9×3³+…+（4n+1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②整理可得：-2T_n=5×3+4×3²+…+4•3ⁿ-（4n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=+；
（III）證明：∵，d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，
∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）λ
∴（-1）ⁿ（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ
（1）當n為正偶數(shù)時，有（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ恒成立
∴=
∵n=2時，=-
∴；
（2）當n為正奇數(shù)時，有-（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ恒成立
∴=
∵n=1時，=
∴
綜上可知d_n+1＞d_n，n∈N^*成立時，．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，考查求參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是正確運用數(shù)列的求和方法，正確分離參數(shù)，屬于中檔題．