【題目】已知,函數(shù).

(1)當時,解不等式

(2)設,若對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1,求的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(1),得,解得;(2)上單調(diào)遞減.可得函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為,等價于,對任意成立,只需令函數(shù)在區(qū)間的最小值不小于零,解不等式即可.

試題解析:(1)由,得,解得.

(2)當時,,

所以上單調(diào)遞減.

函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為.

,對任意成立.

因為,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

時,有最小值,由,得,故的取值范圍為.

【方法點晴】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、簡單的指數(shù)方程以及不等式恒成立問題,屬于難題.不等式恒成立問題常見方法:① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立(即可);② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可);③ 討論最值恒成立;④ 討論參數(shù).本題(2)是利用方法③ 求得的取值范圍的.

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