已知向量
a
=(sinx， 1)，
b
=(1 ，cosx)，函數(shù)f(x)=
2
2
a
•
b
，
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若α∈(0，
π
2
)，β∈(0，
π
2
)，且f(α+β+
π
4
)=
3
5
，f(β-
π
4
)=
5
13
，求sinα的值．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，即可求解函數(shù)f（x）的值域；
（2）利用f(α+β+
π
4
)=
3
5
，求出α+β的余弦函數(shù)值，通過α∈(0，
π
2
)，β∈(0，
π
2
)，求出正弦函數(shù)值，利用f(β-
π
4
)=
5
13
，求出sinβ，通過sinα=sin[（α+β）-β]求解即可．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）f(x)=
2
2
a
•
b
=
2
2
×(sinx+cosx)=sin(x+
π
4
)…（3分）
f（x）的值域?yàn)椋篬-1，1]； …（4分）
（2）由f(α+β+
π
4
)=
3
5
得：sin(α+β+
π
2
)=cos(α+β)=
3
5
，
又α∈(0，
π
2
)，β∈(0，
π
2
)，則 α+β∈（0，π），sin(α+β)=
1-(
3
5
)2
=
4
5
…（8分）
由f(β-
π
4
)=
5
13
得：sinβ=
5
13
，
又 β∈(0，
π
2
)，cosβ=
1-(
5
13
)2
=
12
13
…（10分）
sinα=sin[（α+β）-β]=sin(α+β)•cosβ-cos(α+β)•sinβ=
4
5
×
12
13
-
3
5
×
5
13
=
33
65
．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的值的求法，角的轉(zhuǎn)化技巧，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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