Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2-4x，x≤0 lnx，x＞0

，若f（x）≤a|x|對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：按照分段函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，分x=0，x＜0與x＞0三類討論，分別求得a的最小值，取交即可．

解答： 解：若x=0，f（x）≤a|x|?0≤0對任意實數(shù)a都成立；
若x＜0，則f（x）≤a|x|?a≥

-x2-4x

|x|

=

-x2-4x

-x

=x+4，
由于x＜0時，x+4＜4，所以a≥4；
若x＞0，則f（x）≤a|x|?a≥

lnx

|x|

=

lnx

x

，
令h（x）=

lnx

x

（x＞0），則h′（x）=

1-lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜e時，h′（x）＞0，
當(dāng)x＞e時，h′（x）＜0，
所以，當(dāng)x=e時，h（x）=

lnx

x

（x＞0）取得極大值，也是最大值，即h（x）_max=h（e）=

1

e

，
所以，a≥

1

e

．
綜上述，實數(shù)a的最小值為

1

e

．
故答案為：

1

e

．

點評：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，著重考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論與等價轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，屬于中檔題．