Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在區(qū)間[-，]上的偶函數(shù)，且x∈[0，]時(shí)，f（x）=-x²-x+5．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在函數(shù)y=f（x）的圖象上，頂點(diǎn)C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求函數(shù)f（x）的解析式，只須求出函數(shù)f（x）在x∈[-，0]時(shí)的解析式即可，利用函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)即可由y軸右側(cè)的表達(dá)式求出在y軸左側(cè)的表達(dá)式．最后利用分段函數(shù)寫出解析式即可．
（2）設(shè)A點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為A（t，-t²-t+5），利用對(duì)稱性求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出矩形ABCD面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求出此面積表達(dá)式的最大值即可．
解答：解（1）當(dāng)x∈[-，0]時(shí)，-x∈[0，]．
∴f（-x）=-（-x）²-（-x）+5=-x²+x+5．又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=-x²+x+5．
∴f（x）=
（2）由題意，不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限，
坐標(biāo)為（t，-t²-t+5），其中t∈（0，]．
由圖象對(duì)稱性可知B點(diǎn)坐標(biāo)為（-t，-t²-t+5）．
則S（t）=S_矩形ABCD=2t（-t²-t+5）=-2t³-2t²+10t．
s′（t）=-6t²-4t+10．由s′（t）=0，得t₁=-（舍去），t₂=1．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，s′（t）＞0；t＞1時(shí)，s′（t）＜0．
∴S（t）在（0，1]上單調(diào)遞增，在[1，]上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的面積取得極大值6，
且此極大值也是S（t）在t∈（0，]上的最大值．
從而當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)、函數(shù)的最值及其幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．