Question

某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件．這種零件有A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

．按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品．
（1）求一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出4個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)ξ表示其中合格品的個(gè)數(shù)．
①求其中至多2個(gè)零件是合格品的概率是多少？
②求ξ的均值Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析：（1）法一：至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)事件是僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)和兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)事件的和事件，兩個(gè)事件的概率相加得到結(jié)果．
法二：設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P₁、P₂，根據(jù)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

，列出方程組，解方程組即可．
（2）①任意抽出4個(gè)零件進(jìn)行檢查，其中至多2個(gè)零件是合格品包括三種情況，即合格的零件數(shù)是0，1，2，這三種情況是互斥的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
②依題意知合格品的個(gè)數(shù)符合二項(xiàng)分布，即ξ～B（4，

1

2

），根據(jù)期望和方差的公式寫出結(jié)果．

解答：解：（1）法一：至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)事件（P=

11

12

）是僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)（P=

5

12

）
和兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)事件的和事件．
所以所求的概率為p=

1

2

．                          
法二：設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P₁、P₂．
由題意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)•= 11 12

，
解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率為

1

2

．
（2）①任意抽出4個(gè)零件進(jìn)行檢查，其中至多2個(gè)零件是合格品的概率為
P(?≤2)=

C

0 4

(

1

2

)4+

C

1 4

(

1

2

)4+

C

2 4

(

1

2

)4=

11

16

，
②依題意知ξ～B（4，

1

2

），Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和離散型隨機(jī)變量的期望和方差，本題解題的關(guān)鍵是看出事件符合什么分布，判斷出符合什么分布，計(jì)算起來要簡(jiǎn)單的多．