Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）設(shè)b_n=

an

2n-1

．證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ構(gòu)造可得

an

2n-1

-

an-1

2n-2

= 1即數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列
（2）由（1）可求

an

2n-1

=n，從而可得a_n=n•2^n-1 利用錯位相減求數(shù)列{a_n}的和

解答：解：由a_n+1=2a_n+2ⁿ．兩邊同除以2ⁿ得

an+1

2n

=

an

2n-1

+1
∴

an+1

2n

-

an

2n-1

=1，即b_n+1-b_n=1
∴{b_n}以1為首項，1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）得

an

2n-1

=1+(n-1)×1=n
∴a_n=n•2^n-1
S_n=2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1
2S_n=2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-S_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

- n•2n=(1-n)•2n-1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1

點(diǎn)評：本題考查利用構(gòu)造法構(gòu)造特殊的等差等比數(shù)列及錯位相減求數(shù)列的和，構(gòu)造法求數(shù)列的通項及錯位相減求數(shù)列的和是數(shù)列部分的重點(diǎn)及熱點(diǎn)，要注意該方法的掌握．