Question

某地區(qū)預(yù)計(jì)從2011年初開始的第x月，商品A的價(jià)格f(x)=

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(x2-12x+69)（x∈N，x≤12，價(jià)格單位：元），且第x月該商品的銷售量g（x）=x+12（單位：萬件）．（1）2011年的最低價(jià)格是多少？（2）2011年的哪一個(gè)月的銷售收入最少？

Answer 1

分析：（1）由價(jià)格函數(shù)f(x)=

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(x2-12x+69)（x∈N，1≤x≤12）是二次函數(shù)，可得f（x）的最小值，即價(jià)格最低；
（2）銷售收入y=f（x）•g（x），整理，得關(guān)于x的三次函數(shù)，用求導(dǎo)法，可以求出y的最小值，即哪個(gè)月銷售收入最少；

解答：解：（1）∵價(jià)格函數(shù)為：f(x)=

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[(x-6)2+33]，（x∈N，1≤x≤12），∴當(dāng)x=6時(shí)，f（x）取得最小值，
即第6月的價(jià)格最低，最低價(jià)格為16.5元；
（2）設(shè)第x月的銷售收入為y（萬元），依題意有y=

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(x2-12x+69)(x+12)=

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(x3-75x+828)，
對y求導(dǎo)，得：y′=

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(3x2-75)=

3

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(x+5)(x-5)，
所以，當(dāng)1≤x≤5時(shí)，y'≤0，y遞減；
當(dāng)5≤x≤12時(shí)，y'≥0，y遞增，
所以，當(dāng)x=5時(shí)，y最小，即第5個(gè)月銷售收入最少；
答：2011年在第5月的銷售收入最低．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)，三次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值時(shí)，常用“導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)增；導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)減”來判定．