Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）是減函數(shù)，求a的取值范圍；

Answer 1

分析：求函數(shù)的定義域（0，+∞）
（1）把a(bǔ)=0代入求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值．
（2）由題意可得f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f′（x）在（0，+∞）的最大值小于（等于）0，進(jìn)而求解，也可利用二次函數(shù)的圖象及根的分布問(wèn)題求解．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x-lnx，則f′(x)=2-

1

x

（2分）
∴x，f'（x），f（x）的變化情況如下表
（5分）
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）的極小值為1+ln2，函數(shù)無(wú)極大值．（7分）

（2）由已知，得f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，則f′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

（9分）
∵函數(shù)f（x）是減函數(shù)
∴f'（x）≤0對(duì)x＞0恒成立，即不等式

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)為

lnx

x

=ax+2-(2a+1)對(duì)恒成立（11分）
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

a＜0 △=4+4a≤0

（13分）
解得a≤-1，即a的取值范圍是（-∞，-1]（14分）
另解：f′(x)=ax+2-

1

x

≤0對(duì)x＞0恒成立，即a≤

1

x2

-

2

x

對(duì)x＞0恒成立，即a≤(

1

x2

-

2

x

)min=[(

1

x

-1)2-1]min=-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求函數(shù)的極值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解決（II）的關(guān)鍵是把單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為恒成立的問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解，但不要忘了對(duì)函數(shù)的定義域的判定．