Question

（2008•長寧區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（2，0）作直線與拋物線y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求證：y₁y₂為定值；
（2）若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ADB面積的最小值；
（3）求證：直線l：x=1被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值．

Answer 1

分析：（1）分情況討論：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，計(jì)算得y₁y₂=-8；當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2），代入拋物線方程得到關(guān)于y的一元二次方程，因此有y₁y₂=-8為定值．
（2）依題意可知點(diǎn)D的坐標(biāo)，可由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求得y₁+y₂和的y₁y₂表達(dá)式，代入三角形面積公式中求得直線AB垂直于x軸時(shí)△ADB面積的最小值．
（3）先求出AC中點(diǎn)E(

x1+2

2

，

y1

2

)及AC=

(x1-2)2+y12

，從而得出以AC為直徑的圓的半徑的表達(dá)式，最后計(jì)算得到所截弦長為定值．

解答：解：（1）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，y1=2

2

，y2=-2

2

，因此y₁y₂=-8（定值）（2分）
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y2=4x

得ky²-4y-8k=0，∴y₁y₂=-8．
因此有y₁y₂=-8為定值．…（6分）
（2）D（-2，0），∴DC=4.S△ADB=

1

2

DC•|y1-y2|．…..…（7分）
當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，S△ADB=

1

2

×4×4

2

=8

2

．；…（8分）
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，由（1）知  y1+y2=

4

k

，因此|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16 k2 +32

＞4

2

，∴S△ADB＞8

2

．…．（11分）
綜上，△ADB面積的最小值為8

2

．…．…..（12分）
（3）AC中點(diǎn)E(

x1+2

2

，

y1

2

)，…．…．（13分）AC=

(x1-2)2+y12

，因此以AC為直徑的圓的半徑r=

1

2

AC=

1

2

(x1-2)2+y12

=

1

2

x12+4

，…..…..（15分）AC中點(diǎn)E到直線x=1的距離d=|

x1+2

2

-1|，…．（16分）∴所截弦長為：2

r2-d2

=2

x12+4 4 -( x1+2 2 -1)2

=2（定值）．…..…（18分）

點(diǎn)評：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．