Question

已知向量(cos,sin) (≠0 )，=" (" – sin,cos)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）若=– ，求向量與的夾角；（2）若||≥2||對任意實(shí)數(shù)、都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）故當(dāng)＞0時(shí)，向量與的夾角為；當(dāng)＜0時(shí)，向量與的夾角為。（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是∪。

（1）設(shè)向量與的夾角，
則cos=，
當(dāng)＞0時(shí)，cos=,=；
當(dāng)＜0時(shí)，cos= –, =。
故當(dāng)＞0時(shí)，向量與的夾角為；
當(dāng)＜0時(shí)，向量與的夾角為。

≥

（2）對任意的，恒成立，

   即 (cos+sin)² + (sin– cos)²≥4對任意的，恒成立。
即² + 1 + 2sin (–) ≥4對任意的，恒成立，

≥

＜

≥

＞

   所以 或  

   解得：≥3或≤ –3 。
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是∪。