Question

已知定義域為R的奇函數f（x）的導函數為f′（x），當x≠0時，f′（x）+

f(x)

x

＞0，若a=

1

2

f(

1

2

)，b=-2f（-2），c=ln

1

2

f（ln2），則a，b，c的大小關系是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算,不等式比較大小

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于當x≠0時，f′（x）+

f(x)

x

＞0，可得：當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0．即當x＞0時，g′（x）＞0，因此當x＞0時，函數g（x）單調遞增．即可得出．

解答： 解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵當x≠0時，f′（x）+

f(x)

x

＞0，
∴當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0．
即當x＞0時，g′（x）＞0，
因此當x＞0時，函數g（x）單調遞增．
∵函數f（x）為奇函數，∴b=-2f（-2）=2f（2），
又c=ln

1

2

f（ln2）=-ln2f（ln2），
∵2＞ln2＞

1

2

，
∴g（2）＞g（ln2）＞g(

1

2

)，
即b＞-c＞a．
g（0）=0，g（

1

2

）=

1

2

f（

1

2

）＞0，
∴b＞a＞c．
故答案為：b＞a＞c．

點評：本題考查了通過構造函數利用導數研究函數的單調性比較大小，考查了推理能力，屬于難題．