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7.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)長軸長是短軸長的2倍,且過點(2,-6);
(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直,且焦距為6.

分析 (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y22=1,或y2a2+x22=1,a>b>0,由已知得a=2b,且橢圓過點(2,-6),由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的方程.
(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y22=1,a>b>0,由已知條件推導(dǎo)出c=b=3,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解答 解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y22=1,或y2a2+x22=1,a>b>0,
∵長軸長是短軸長的2倍,∴a=2b,①
∵橢圓過點(2,-6),∴4a2+362=1,或36a2+42=1,②
由①②,得a2=148,b2=37或a2=52,b2=13,故所求的方程為x2148+y237=1y252+x213=1
(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y22=1,a>b>0,
∵在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直,且焦距為6,如圖所示,
∴△A1FA2為一等腰直角三角形,OF為斜邊A1A2的中線(高),且OF=cA1A2=2b,
c=b=3.∴a2=b2+c2=18.
故所求橢圓的方程為x218+y29=1

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.

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