已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應(yīng)的一個特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．
（3）求直線l：x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．
（1）設(shè)M=
ab
cd
，則
ab
cd
1
1
=8
1
1
=
8
8
，
故
a+b=8
c+d=8.
ab
cd
-1
2
=
-2
4
，
故
-a+2b=-2
-c+2d=4.

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=
62
44
．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，
故其另一個特征值為λ=2．
設(shè)矩陣M的另一個特征向量是e2=
x
y
，
則M e2=
6x+2y
4x+4y
=2
x
y
，
解得2x+y=0．
（3）設(shè)點(diǎn)（x，y）是直線l上的任一點(diǎn)，
其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），
則
62
44
x
y
=
x′
y′
，
即x=
1
4
x′-
1
8
y′，y=-
1
4
x′+
3
8
y′，
代入直線l的方程后并化簡得x′-y′+2=0，
即x-y+2=0．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（3，0），求矩陣M．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
過點(diǎn)M（3，4），傾斜角為
π
6
的直線l與圓C：
x=2+5cosθ
y=1+5sinθ
（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，試確定|MA|•|MB|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，試確定e的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知某圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0．將極坐標(biāo)方程化為普通方程；并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程．
（2）已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量e1=
.
1
1
.
，且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成
（-2，4）．求矩陣M的另一個特征值及對應(yīng)的一個特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
1
，并且M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=[
 
1
1
]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（3，0），求矩陣M．

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