已知橢圓E：（a＞b＞0）過點P（3，1），其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線x=5上的兩個動點，且F1M⊥F2N，則以MN為直徑的圓C是否過定點？請說明理由．
【答案】分析：（1）根據(jù)題意分別寫出，所以，解得c=4，再結(jié)合橢圓的定義可得a得數(shù)值，進而得到橢圓E的方程．
（2）設(shè)M，N的坐標分別為（5，m），（5，n），則，所以，即mn=-9，并且得到圓C的方程為，化簡可得（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，令y=0，可得x=8或2，即可得到答案．
解答：解：（1）設(shè)點F1，F(xiàn)2的坐標分別為（-c，0），（c，0）（c＞0），
則，
故，
解得c=4，
所以，
所以，
所以橢圓E的方程為．
（2）設(shè)M，N的坐標分別為（5，m），（5，n），則，
因為，
所以，即mn=-9，
又因為圓C的圓心為，半徑為，
所以圓C的方程為，
即（x-5）2+y2-（m+n）y+mn=0，即（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，
令y=0，可得x=8或2，
所以圓C必過定點（8，0）和（2，0）．
點評：此題是個中檔題．考查橢圓的定義和標準方程的求法，以及圓與橢圓的綜合等知識，同時考查了學生分析問題與解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年河南省洛陽市高三上學期期末考試理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

    已知橢圓E：（a>b>0）的離心率e＝，左、右焦點分別為F1、F2，點P（2,），點F2在線段PF1的中垂線上

   （1）求橢圓E的方程；

   （2）設(shè)l1，l2是過點G（，0）且互相垂直的兩條直線，l1交E于A， B兩點，l2交E于C，D兩點，求l1的斜率k的取值范圍；

   （3）在（2）的條件下，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N，試問直線MN是否恒過定點?

若經(jīng)過，求出該定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由。

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：數(shù)學公式（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為數(shù)學公式，直線l：x+2y-2=0與x軸，y軸分別交于點A，B．
（Ⅰ）若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若線段AB上存在點P滿足|PF1+PF2|=2a，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：數(shù)學公式（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），離心率為數(shù)學公式，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面積為數(shù)學公式，設(shè)斜率為k的直線過點F，且與橢圓E相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若 數(shù)學公式≤數(shù)學公式•數(shù)學公式≤數(shù)學公式，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：江西省同步題 題型：解答題

已知橢圓E：（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），離心率為，A（﹣a，0），
B（0，b），且△ABF的面積為，設(shè)斜率為k的直線過點F，且與橢圓E相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若 ≤·≤，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年福建省漳州市漳浦縣道周中學高考數(shù)學模擬試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓E：（a＞b＞0）過點P（3，1），其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線x=5上的兩個動點，且F1M⊥F2N，圓C是以MN為直徑的圓，其面積為S，求S的最小值以及當S取最小值時圓C的方程．

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