已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|,
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)求直線AB的斜率;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,直線F2B上有一點(diǎn)H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圓上,求的值。

解:(Ⅰ)由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|,得
從而,整理,得,
故離心率為。
(Ⅱ)由(Ⅰ),得b2=a2-c2=2c2,
所以橢圓的方程可寫為2x2+3y2=6c2,
設(shè)直線AB的方程為,即y=k(x-3c),
由已知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則它們的坐標(biāo)滿足方程組,
消去y并整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0,
依題意,,得,
,①
,②
由題設(shè)知,點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn),所以x1+3c=2x2, ③
聯(lián)立①③解得,
將x1,x2代入②中,解得。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知x1=0,,
當(dāng)時(shí),得,由已知得,
線段AF1的垂直平分線l的方程為,
直線l與x軸的交點(diǎn)是△AF1C的外接圓的圓心.
因此外接圓的方程為
直線F2B的方程為,
于是點(diǎn)H(m,n)的坐標(biāo)滿足方程組,
由m≠0,解得,
。
當(dāng)時(shí),同理可得。
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    已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(0,-2
    2
    ),F2(0,2
    2
    )
    ,離心率e=
    2
    2
    3

    (1)求橢圓的方程;
    (2)一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-
    1
    2
    ,求直線l的傾斜角的范圍.

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    5
    2
    ,-
    3
    2
    ).
    (2)已知拋物線焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6.

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    (Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;

    (Ⅱ)過點(diǎn)P作直線,使得直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.求出的值.

     

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    給定橢圓  ,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足

    (Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程

    (Ⅱ)試探究y軸上是否存在點(diǎn)(0, ),使得過點(diǎn)作直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由。

     

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