Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點，過點P（2，1）的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l的方程以及點M的坐標；
（Ⅲ）是否存在過點P的直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足？若存在，求直線l₁的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為，由題意解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-2）+1．所以（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．因為直線l與橢圓相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．解得．由此可知切點M坐標為．
（Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，設直線l₁的方程為y=k₁（x-2）+1，代入橢圓C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．知．由此可知存在直線l₁滿足條件，其方程為．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為，由題意得
解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為．（4分）
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-2）+1．
由得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．①
因為直線l與橢圓相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．
整理，得32（6k+3）=0．
解得．
所以直線l方程為．
將代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為．（9分）
（Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，設直線l₁的方程為y=k₁（x-2）+1，代入橢圓C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．
因為直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．
所以．
又，，
因為，即，
所以．
即，
所以，解得．
因為A，B為不同的兩點，所以．
于是存在直線l₁滿足條件，其方程為．（13分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．