Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）設(shè)b_n=a_n-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（III）設(shè)cn=bn•(n-n2) （n=1，2，3，…），如果對(duì)任意n∈N^*，都有cn＜

t

5

，求正整數(shù)t的最小值．

Answer 1

分析：（I）在遞推公式中依次令n=1，2，3計(jì)算求解．
（II）由已知可得，S_n=n-a_n，當(dāng)n≥2時(shí)，S _n-1=（n-1）-a_n-1，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1，繼而a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
（III）由（Ⅱ）得b_n=-

1

2n

，cn=bn•(n-n2)=

n2-n

2n

，用作差比較法判斷{c_n}的單調(diào)性，得出其最大值，令最大值小于

t

5

，求正整數(shù)t的最小值．

解答：（I）解：由已知，a₁=1-a₁，a₁=

1

2

．a(chǎn)₁+a₂=2-a₂，a₂=

3

4

．a(chǎn)₁+a₂+a₃=3-a₃，a₃=

7

8

．
（II）證明：由已知可得，S_n=n-a_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，S _n-1=（n-1）-a_n-1，
a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
即當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=

1

2

b_n-1，b₁=a₁-1=-

1

2

≠0
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為-

1

2

，公比為

1

2

．
（III）解：由（Ⅱ）得b_n=-

1

2n

，
∴cn=bn•(n-n2)=

n2-n

2n

c_n-c_n-1=

(n+1)2-(n+1)

2n+1

-

n2-n

2n

=

n(3-n)

2n+1

∴c₁＜c₂＜c₃=c₄＞c₅＞…
∴c_n有最大值c₃=c₄=

3

4

，任意n∈N^*，都有cn＜

t

5

，當(dāng)且僅當(dāng)

3

4

＜

t

5

即t＞

15

4

，故正整數(shù)t的最小值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式求解，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．