設圓C1:x2+y2-10x-6y+32=0,動圓C2:x2+y2-2ax-2(8-a)y+4a+12=0,
(Ⅰ)求證:圓C1、圓C2相交于兩個定點;
(Ⅱ)設點P是橢圓上的點,過點P作圓C1的一條切線,切點為T1,過點P作圓C2的一條切線,切點為T2,問:是否存在點P,使無窮多個圓C2,滿足PT1=PT2?如果存在,求出所有這樣的點P;如果不存在,說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)化簡動圓C2確定它過的定點,在圓C1上即可.
(Ⅱ)設存在,再設P的坐標,求出PT1,PT2令其相等,求得關系式,P適合橢圓方程,可求得P的坐標.
解答:解:(Ⅰ)將方程x2+y2-2ax-2(8-a)y+4a+12=0化為x2+y2-16y+12+(-2x+2y+4)a=0,
,
所以圓C2過定點(4,2)和(6,4),(4分)
代入x2+y2-10x-6y+32=0,
左邊=16+4-40-12+32=0=右邊,
故點(4,2)在圓C1上,同理可得點(6,4)也在圓C1上,
所以圓C1、圓C2相交于兩個定點(4,2)和(6,4);(6分)
(2)設P(x,y),則,(8分),(10分)
PT1=PT2即-10x-6y+32=-2ax-2(8-a)y+4a+12,
整理得(x-y-2)(a-5)=0(*)(12分)
存在無窮多個圓C2,滿足PT1=PT2的充要條件為有解,
解此方程組得,(14分)
故存在點P,使無窮多個圓C2,滿足PT1=PT2,點P的坐標為.(16分)
點評:本題考查圓與圓的位置關系,考查存在性問題,分析問題和解決問題的能力,是難題.
練習冊系列答案
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設圓C1:x2+y2-10x-6y+32=0,動圓C2:x2+y2-2ax-2(8-a)y+4a+12=0,
(Ⅰ)求證:圓C1、圓C2相交于兩個定點;
(Ⅱ)設點P是橢圓
x24
+y2=1
上的點,過點P作圓C1的一條切線,切點為T1,過點P作圓C2的一條切線,切點為T2,問:是否存在點P,使無窮多個圓C2,滿足PT1=PT2?如果存在,求出所有這樣的點P;如果不存在,說明理由.

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