Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，連接AC₁交平面A₁BD于H，則下列命題中，錯(cuò)誤的命題是（ ）

A．AH與DD₁所成的角為
B．AC₁⊥平面A₁BD
C．
D．H是△A₁BD的垂心

Answer 1

【答案】分析：A 因?yàn)?DD₁∥AA₁，所以將AH與DD₁所成的角轉(zhuǎn)化成AH與AA1所成的角∠A₁AC解決．
B由三垂線定理，可證AC₁⊥面A₁BD
D因?yàn)锳B，AD，AA1兩兩垂直，且AC₁⊥面A₁BD，所以H是△A₁BD的垂心
C在直角三角形CAC₁中求解．
解答：解：連接 A₁C₁，知tan∠A₁AC=，即AH與DD₁所成的角為，A對(duì)
由三垂線定理，AC1在面ABCD上的射影為AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC₁  同理可證BA₁⊥AC₁∴AC₁⊥面A₁BD，B對(duì)
因?yàn)锳B，AD，AA1兩兩垂直，且AC₁⊥面A₁BD，所以H是△A₁BD的垂心  D對(duì)
由AC₁⊥面A₁BD知AH⊥HO，
HO=AO×sin∠CAC₁=，C錯(cuò)
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的基本性質(zhì)，線面位置關(guān)系、距離求解，考查空間想象能力、論證能力、計(jì)算能力．