Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）a=2時(shí)，

曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程x+y-1=0
（Ⅱ）
①當(dāng)a＜0時(shí)，恒成立，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，解得或

x	（ 0，）		（ ，1）
f′（x）	-		+
f（x）	減		增

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
（Ⅲ）對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0
①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以只需f（1）≥0
而
所以a＜0滿足題意；
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以只需f（1）≥0
而
所以0＜a≤1滿足題意；
③當(dāng)a＞1時(shí)，，f（x）在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，
所以只需即可
而
從而a＞1不滿足題意；
綜合①②③實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1]．

分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，寫出f（x）的表達(dá)式，對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出x=1處的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線的方程；
（II）求出函數(shù)的定義域，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；
（III）由題意可知，對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．下面對a進(jìn)行分類討論，從而求出a的取值范圍；
點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性．恒成立的問題，一般都要求函數(shù)的最值，此題是一道中檔題．