Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CC₁=3，BC=4，G是AB₁和A₁B的交點(diǎn)，若C₁G⊥A₁C．
（I） 求CA的長．
（II） 求點(diǎn)A到平面A₁BC₁的距離；
（III） 求二面角C₁-A₁B-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到=（2，-，-），=（0，-3，-h），進(jìn)而結(jié)合題意得到h=3．
（II）設(shè)平面A₁BC₁得法向量=（a，b，c），根據(jù)題意求出=（3，4，0），遞減向量的射影進(jìn)而求出點(diǎn)A到平面A₁BC₁的距離．
（III）設(shè)平面A₁BC的法向量為=（x，y，z），由題意可得=（0，1，-1），再利用向量之間的有關(guān)運(yùn)算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角得到答案．
解答：解：（I）分別以直線C₁B₁、CC₁、C₁A₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)|CA|=h，則C₁（0，0，0），B₁（4，0，0），B（4，-3，0），C（0，-3，0），A₁（0，0，h），A（0，-3，h），G（2，-，-）
∴=（2，-，-），=（0，-3，-h）
∴•=0，
∴h=3
（II）設(shè)平面A₁BC₁得法向量=（a，b，c），
由題意可得：，
所以，即，
 則取=（3，4，0），
∴點(diǎn)A到平面A₁BC₁的距離為h=||=…（8分）
（III）設(shè)平面A₁BC的法向量為=（x，y，z），
由題意可得：，，
所以，即，
 則可求得=（0，1，-1），
∴二面角C₁-A₁B-C的大小θ滿足cosθ==
∴二面角C₁-A₁B-C的大小為arccos
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，點(diǎn)到面的距離，以及求線段的長度問題，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角及向量長度問題是解答本題的關(guān)鍵．