Question

設(shè)f（x）＝，F（x）＝＋f（x）．

　�。�1）試判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；

　�。�2）設(shè)f（x）的反函數(shù)為（x），求（x）的表達式；

　�。�3）證明對任意自然數(shù)n（n≥3）都有（n）＞．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由且  ∴  F（x）定義域為（－1，1） 　　   ∵     　   　∴     ∵  －1＜x＜1  ∴     　　  ∴    在（－1，1）上為增函數(shù) （2）由  得，     ∴  　　 ∵  f（x）的值域為R  ∴  的定義域為R  故R） （3）當(dāng)n≥3時 　　即證明成立，即證明成立  即證明 法1：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥3時成立 　　由當(dāng)n＝3時，左邊  右邊  左邊＞右邊  ∴  原不等式成立 　　由設(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立，即 　　當(dāng)n＝k＋1時， 　　∴  當(dāng)n＝k＋1時不等式成立  由、可知當(dāng)n為大于或等于3的任意自然數(shù)時不等式成立 法2：*可用二項式定理證明 　　 ＋＋＋…＋＋＋＞＋＋＋ ＝1＋n＋n＋1＝2n＋2＞2n＋1