Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（-1）=f（2），且不等式x≤f（x）≤2|x-1|+1對(duì)x∈[0，2]恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若c＜0，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求2b+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閒（-1）=f（2），不等式x≤f（x）≤2|x-1|+1對(duì)x∈[0，2]恒成立，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

1

2

，且f（1）=1，進(jìn)而可得b，c的值，及函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若c＜0，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則

f(-1)≥0 f(1)≥0 c＜0

，利用線性規(guī)劃可得2b+c的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=x²+bx+c，f（-1）=f（2），
所以1-b+c=4+2b+c，
解得：b=-1，…（3分）
因?yàn)楫?dāng)x∈[0，2]，
都有x≤f（x）≤2|x-1|+1，
令x=1，則1≤f（1）≤1，
所以有f（1）=1，…（6分）
即c=1，
所以f（x）=x²-x+1；          …（7分）
（2）因?yàn)閒（x）在[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，且c＜0，
所以有

f(-1)≥0 f(1)≥0 c＜0

，
即

-b+c+1≥0 b+c+1≥0 c＜0

其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：
 …（11分）
令Z=2b+c，
則當(dāng)b=-1，c=0時(shí)，Z取最小值-2，
當(dāng)b=1，c=0時(shí)，Z取最大值2，
由于可行域不包括（-1，0）和（1，0）點(diǎn)
故-2＜2b+c＜2（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，線性規(guī)劃，難度中檔．