Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域．
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（3）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，可令函數(shù)解析式的分母不為0，即可得到所求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，要用定義法，由函數(shù)解析式研究f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可證明出函數(shù)的性質(zhì)；
（3）此函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，由定義法證明要先任取定義域內(nèi)兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂且x₁＜x₂，再兩函數(shù)值作差，判斷差的符號(hào)，再由定義得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意若函數(shù)f（x）=x+

1

x

的解析式有意義
自變量須滿足x≠0，
所以函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）此函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，證明如下
由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又∵f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）此函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＜1，x₁•x₂-1＜0
f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）（

x1•x2-1

x1•x2

）＞0
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，判斷函數(shù)的奇偶性，定義法證明函數(shù)單調(diào)性，正確解答本題，關(guān)鍵是熟練記憶函數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)判斷的方法，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性是本題的難點(diǎn)，定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，其步驟是；取，作差，判號(hào)，得出結(jié)論，其中判號(hào)這一步易疏漏，切記