Question

函數(shù)f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．減區(qū)間與增區(qū)間的分界點(diǎn)為極值點(diǎn)，且當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，為極大值，當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，為極小值．
（2）由條件可得＜a（x＞0）恒成立，等價(jià)于的最大值＜a，令h（x）=（x＞0），用導(dǎo)數(shù)求出-x的最大值即可．
解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=-2=，令f′（x）=0，得x=，如下表

∴f（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（ ，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）極大值=f（ ）=-ln2-1，無(wú)極小值．
（2）由條件可得＜a（x＞0）恒成立，等價(jià)于的最大值＜a，
令h（x）=（x＞0），則h′（x）=，
則當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）＞0，又當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（e）=，
所以a＞．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)已知條件求出導(dǎo)函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．