Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，f（x）=-f（-x），且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）證明函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（2）若f（x-1）＜f（2x），求x的取值范圍．
（3）附加題（5分）：若f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題

分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

．(x1-x2)，由此能夠證明f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，f（x-1）＜f（2x），知

x-1＜2x -1≤x-1≤1 -1≤2x≤1

，由此能求出x的取值范圍．
（3）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，知f_max（x）=f（1）=1，要使f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需2am-1≤0，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （1）證明：任取-1≤x₁＜x₂≤1，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

．(x1-x2)
∵

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)
（2）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，f（x-1）＜f（2x），
∴

x-1＜2x -1≤x-1≤1 -1≤2x≤1

，
整理，得

x＞-1 0≤x≤2 - 1 2 ≤x ≤ 1 2

∴x的取值范圍是：{x|0≤x≤

1

2

}．
（3）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f_max（x）=f（1）=1，
∵要使f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只需-2am+2≥1，
即2am-1≤0，
設(shè)g（a）=2ma-1，
∴

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

-2m-1≤0 2m-1≤0

，
解得-

1

2

≤m≤

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是要使f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需-2am+2≥1，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．