Question

已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，1)，F(xiàn)₁是橢圓5x²＋9y²＝45的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA|＋|PF₁|的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　靈活運(yùn)用定義解題，在題目中出現(xiàn)了|PF1|即橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而聯(lián)想橢圓的定義． 　　解答　　如下圖所示，設(shè)右焦點(diǎn)為F2，則|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，∴|PA|＋|PF1|＝6＋|PA|－|PF2|． 　�、佼�(dāng)|PA|≥|PF2|時(shí)，有|PA|－|PF2|≤|AF2|，∴|PA|－|PF2|＝|AF2|時(shí)，|PA|＋|PF1|最大，此時(shí)，P點(diǎn)是射線AF2與橢圓的交點(diǎn)，且|PA|＋|PF1|的最大值為6＋； 　　②又|PA|＋|PF1|＝6－(|PF2|－|PA|)，當(dāng)|PF2|≥|PA|時(shí)，|PF2|－|PA|≤|AF2|． 　　∴|PA|＋|PF1|≥6－，且|PF2|－|PA|＝|AF2|時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，P點(diǎn)是射線F2A與橢圓的交點(diǎn)，且|PA|＋|PF2|的最小值為6－． 　　評(píng)析　　本題著重訓(xùn)練學(xué)生利用定義解題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中注意知識(shí)之間的牽連與轉(zhuǎn)化思想．