Question

如圖，△ABC中，∠C=90^o，∠A=45^o，DC⊥平面ABC，DC=6，G為△ABC的重心M為GD上的一點，∠MCG=45^o．
（1）求證AB⊥DG；
（2）求二面角G-MC-B的大�。�

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90^o故△ABC為等腰直角三角形
∵G為△ABC的重心，∴AB⊥GC①
又∵DC⊥平面ABC，AB平面ABC∴AB⊥DC②
由①②及DC∩GC=C知AB⊥面DGC，
∵DG?面DGC，∴AB⊥DG（6分）
（2）延長CG交AB于點N∵G為△ABC的重心∴N是AB的中點
∵∠ACB=90^o∴
連接DN延長CM交DN于點C，由CN=DC=6，∠MCG=45^o
知CE⊥DN，則E是DN的中點，連接BE，由AB⊥面DGC，知BE⊥CE
故∠BEN為二面角G-MC-B的平面角（9分）
在Rt△BEN中，BN=6，EN=，∴
∴二面角G-MC-B的大小是（12分）
分析：（1）欲證AB⊥DG，而DG?面DGC，故先證AB⊥面DGC，而AB⊥GC，AB⊥DC，DC∩GC=C，滿足線面垂直的判定定理，從而問題得證；
（2）延長CG交AB于點N，G為△ABC的重心則N是AB的中點，連接DN延長CM交DN于點C，連接BE，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠BEN為二面角G-MC-B的平面角，在Rt△BEN中，求出此角即可．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及與二面角有關的立體幾何綜合題，同時考查了空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，屬于基礎題．