Question

16．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)為橢圓是上焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AF的垂線(xiàn)，垂足為N．
（1）若a=$\sqrt{2}$，△ABM的面積為1，求橢圓方程；
（2）是否存在橢圓，使得點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AF對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D仍在橢圓上，若存在，求橢圓的離心率的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由k_AF=$\frac{c}$，直線(xiàn)AF：-$\frac{x}$+$\frac{y}{c}$=1，則k_BD=-$\frac{c}$，直線(xiàn)BD：y=-$\frac{c}$（x-b），聯(lián)立求得M點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（2）由（1）可知：B，D關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求得D點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)存在D點(diǎn)，代入橢圓方程，解得：c=0，a=c，不合題意，故不存在這樣的橢圓．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，k_AF=$\frac{c}$，直線(xiàn)AF：-$\frac{x}$+$\frac{y}{c}$=1，
∵BD⊥AC，
∴k_BD=-$\frac{c}$，直線(xiàn)BD：y=-$\frac{c}$（x-b），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}+\frac{y}{c}=1}\\{y=-\frac{c}（x-b）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{M}=\frac{b（^{2}-{c}^{2}）}{^{2}+{c}^{2}}}\\{{y}_{M}=\frac{2c^{2}}{^{2}+{c}^{2}}}\end{array}\right.$，
則△ABM的面積S=$\frac{1}{2}$×2b×$\frac{2c^{2}}{^{2}+{c}^{2}}$=1，
由a=$\sqrt{2}$，解得：b=1，
∴橢圓方程$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）由已知B關(guān)于AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，BD⊥AF于M，
∴B，D關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=\frac{b（^{2}-3{c}^{2}）}{^{2}+{c}^{2}}}\\{{y}_{D}=\frac{4^{2}c}{^{2}+{c}^{2}}}\end{array}\right.$，
假設(shè)存在橢圓使得B關(guān)于直線(xiàn)AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D仍在橢圓上，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程：整理得：a⁴-2a²c²+2c⁴=0，
則（a²-c²）²+c⁴=0，
∴c=0，a=c，不合題意，
故不存在這樣的橢圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)的斜率公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．