Question

用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．
（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；
（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個數(shù)；
（Ⅲ）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為數(shù)字0不能排在首位，末位是0時又是偶數(shù)，所以針對于0進行討論，當(dāng)末位是0時，十位和百位從4個元素中選兩個進行排列，當(dāng)末位不是0時，只能從2和4中選一個，百位從3個元素中選一個，十位從三個中選一個．根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．
（Ⅱ）十位上的數(shù)為0，1，2，分類討論即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）1和3兩個奇數(shù)夾著0時，把這三個元素看做一個整體，和另外兩個偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個排列，共有2A₃³種結(jié)果，1和3兩個奇數(shù)夾著2時，注意0不能放在首位，當(dāng)1和3兩個奇數(shù)夾著4時，同理，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)分類計數(shù)原理知，
當(dāng)末位是0時，十位和百位從4個元素中選兩個進行排列有A₄²=12種結(jié)果，
當(dāng)末位不是0時，只能從2和4中選一個，百位從3個元素中選一個，十位從三個中選一個共有A₂¹A₃¹A₃¹=18種結(jié)果，
根據(jù)分類計數(shù)原理知共有12+18=30種結(jié)果；
（Ⅱ）十位上的數(shù)為0時，有4×3=12個，十位上的數(shù)為1時，有3×2=6個，十位上的數(shù)為2時，有2×1=2個，共有20個；
（Ⅲ）1和3兩個奇數(shù)夾著0時，把這三個元素看做一個整體，和另外兩個偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個排列，共有2A₃³=12種結(jié)果，
1和3兩個奇數(shù)夾著2時，同前面類似，只是注意0不能放在首位，共有2C₂¹A₂²=8，
當(dāng)1和3兩個奇數(shù)夾著4時，也有同樣多的結(jié)果，共有2C₂¹A₂²=8，
根據(jù)分類加法原理得到共有12+8+8=28種結(jié)果．

點評：對于復(fù)雜一點的計數(shù)問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決，即類中有步，步中有類．