Question

如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中AB=2AD=2

2

，E為DC中點(diǎn)，將它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)可知AD⊥DE，取AE中點(diǎn)O，連接OD、BE，由AD=DE=

2

，知OD⊥AE，由二面角D-AE-B為直二面角，知OD⊥平面ABCE由此能夠證明AD⊥平面BDE．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)F，連接OF，由OF∥EB，知OF⊥平面ADE，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OD為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系，則

AD

=(-1，0，1)，

BD

=(1，-2，1)，設(shè)

m

=(x，y，z)是平面ABD的一個(gè)法向量，由

m

•

AD

=0，

m

•

BD

=0，得

m

=(1，1，1)，平面ADE的法向量

OF

=(0，1，0)，由向量法能求出二面角B-AD-E的平面角．

解答：（Ⅰ）證明：由題設(shè)可知AD⊥DE，取AE中點(diǎn)O，
連接OD、BE，∵AD=DE=

2

，∴OD⊥AE，
又∵二面角D-AE-B為直二面角，
∴OD⊥平面ABCE，
∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2

2

，
∴AB²=AE²+BE²，AE⊥BE，OD∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD，BE∩DE=E，
∴AD⊥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥EB，
∴OF⊥平面ADE，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OD為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），
則A（1，0，0），D（0，0，1），B（-1，2，0），

AD

=(-1，0，1)，

BD

=(1，-2，1)，
設(shè)

m

=(x，y，z)是平面ABD的一個(gè)法向量，
則

m

•

AD

=0，

m

•

BD

=0，
∴

x-2y+z=0 -x+z=0

，取x=1，則y=1，z=1，
則

m

=(1，1，1)，平面ADE的法向量

OF

=(0，1，0)，
設(shè)二面角B-AD-E的平面角為θ，
∴cosθ=|

m • OF

| m | •| OF |

|=|

1

1• 3

|=

3

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明和求二面角的余弦值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，合理地運(yùn)用向量法進(jìn)行解題．