Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）若a=0，b=3，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（2）當a=0時，

f(x)

x

+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求b的取值范圍；
（3）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，且a+b＜2

3

，O是坐標原點，證明：直線OA與直線OB不可能垂直．

Answer 1

（1）當a=0，b=3時，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，令f'（x）=0得x=0，2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可以得出函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，則只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．所以t的取值范圍是（-1，0）．（4分）
（2）當a=0時，

f(x)

x

+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，即x²-bx+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，也即b≤x+

lnx

x

+

1

x

在對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立．令g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

，
則g′(x)=1+

1-lnx

x2

-

1

x2

=

x2-lnx

x2

．
記m（x）=x²-lnx，則m′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，則這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的極小值點x=

2

2

，故也是最小值點，所以m(x)≥m(

2

2

)=

1

2

-ln

2

2

＞0，從而g'（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在[

1

2

，+∞)單調(diào)遞增．函數(shù)g(x)min=g(

1

2

)=

5

2

-2ln2．故只要b≤

5

2

-2ln2即可．所以b的取值范圍是(-∞，

5

2

-2ln2]．（8分）
（3）假設(shè)

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0，即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的兩個根，故s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9.(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，即a+b≥2

3

，與a+b＜2

3

矛盾，所以直線OA與直線OB不可能垂直．