Question

正實(shí)數(shù)a、b、c是等差數(shù)列，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則x₁•x₂的符號(hào)是

 

（填正或負(fù)），其取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=0得到一個(gè)一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之積大于0即可；
（2）函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，令f（x）=0根的判別式大于0即(

a+c

2

)2-4ac＞0①且a，b，c成等差數(shù)列即2b=a+c②，將②代入①化簡(jiǎn)求出x₁•x₂的范圍即可．

解答：解：（1）令f（x）=0，得到ax²+bx+c=0為一個(gè)一元二次方程，
根據(jù)韋達(dá)定理可知x₁•x₂=

c

a

，因?yàn)閍＞0且c＞0得到x₁•x₂的符號(hào)為正；

（2）由題知a、b、c是等差數(shù)列，則2b=a+c即b=

a+c

2

，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得到△=b²-4ac＞0，
即(

a+c

2

)2-4ac＞0，化簡(jiǎn)得a²+c²-14ac＞0，兩邊都除以a²得：(

c

a

)2-14•

c

a

+1＞0，
設(shè)t=x₁•x₂=

c

a

，則不等式變?yōu)椋簍²-14t+1＞0，
化簡(jiǎn)得：[t-（7+4

3

）][t-（7-4

3

）]＞0，
所以t＞7+4

3

或t＜7-4

3

則x₁•x₂的取值范圍是（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）．
故答案為：正，（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值．