Question

已知0＜a＜1，f（x）=log_ax+

1

logax

．
（1）寫出f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）在[

1

a

，+∞）上的單調性．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得可得log_ax≠0，由此求得函數的定義域．
（2）令t=log_ax，可得t是減函數，且t≤-1．利用導數求得函數h（t）=t+

1

t

在（-∞，-1]上是增函數，可得f（x）在[

1

a

，+∞）上是減函數．

解答： 解：（1）由0＜a＜1，f（x）=log_ax+

1

logax

，可得log_ax≠0，
故有x＞0，且 x≠1，
故函數的定義域為{x|x＞0，且 x≠1}．
（2）令t=g（x）=log_ax，由0＜a＜1、x∈[

1

a

，+∞），
可得g（x）是減函數，且g（x）≤-1，且f（x）=h（t）=t+

1

t

．
∵h′（t）=1-

1

t2

≥0，故函數h（t）在（-∞，-1]上是增函數，
∴f（x）=f[g（x）]在[

1

a

，+∞）上是減函數．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，對數函數的性質，體現(xiàn)了轉化的數學思想，屬于基礎題．