Question

5．將函數(shù)y=ln（x+1）（x≥0）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ（θ∈（0，α]），得到曲線C，若對于每一個旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都仍然是一個函數(shù)的圖象，則α的最大值為（　�。�

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 函數(shù)y=ln（x+1）在原點(diǎn)的切線OM的斜率k=1，可得∠MOB．由圖可知：當(dāng)函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)的角θ大于$\frac{π}{2}$-∠MOB時，旋轉(zhuǎn)所得的圖象與垂直于x軸的直線就有兩個交點(diǎn)，曲線C都不是一個函數(shù)的圖象，即可得出．

解答 解：${y}^{′}=\frac{1}{x+1}$，（x＞-1）．
函數(shù)y=ln（x+1）在原點(diǎn)的切線OM的斜率k=1，∠MOB=$\frac{π}{4}$．
由圖可知：當(dāng)函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)的角θ大于$\frac{π}{2}$-∠MOB時，旋轉(zhuǎn)所得的圖象與垂直于x軸的直線就有兩個交點(diǎn)，曲線C都不是一個函數(shù)的圖象，
故θ的最大值是$\frac{π}{2}$-∠MOB=$\frac{π}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．