Question

已知函數(shù)f（x）=（a∈R）．
（1）用定義證明：當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[1，2]上有最小值-1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=，任取 x₂＞x₁≥1，化簡(jiǎn)f（x₂）-f（x₁） 大于零，可得函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）
上是增函數(shù)．
（2）根據(jù)題意得，f（x）=≥-1在[1，+∞）上恒成立，且等號(hào)能成立，故a≥-x²-x-1，求得a≥-3．當(dāng)不等式中
等號(hào)成立時(shí)，a=-x²-x-1≤-3．綜合可得實(shí)數(shù)a的值．
解答：解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=．
任取 x₂＞x₁≥1，∵f（x₂）-f（x₁）=-=．
因?yàn)?x₂＞x₁≥1，所以 （x₁+1）＞0，（x₂+1）＞0，x₂-x₁＞0，x₁+x₂+x₁x₂-3＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，所以函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）根據(jù)題意得，f（x）=≥-1在[1，2]上恒成立，且等號(hào)能成立．
所以，a≥-x²-x-1=--．
由于函數(shù) y=-x²-x-1在[1，2]上單調(diào)遞減，所以，x=1時(shí)，-x²-x-1取得最大值為-3，∴a≥-3．
當(dāng)?shù)仁?≥-1，且1≤x≤2，等號(hào)成立時(shí)，二次函數(shù)a=-x²-x-1=--．
由于--≤-3，所以 a≤-3，
綜上可得，a=-3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的判斷和證明，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．