Question

在△ABC中，cosB=，cosC=-．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求向量+與的夾角．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由cosB和cosC的值，及B和C都為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出sinB和sinC的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinA=sin（B+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入求出sin（B+C）的值，即為sinA的值；
（Ⅱ）由第一問(wèn)求出的sinB和sinC的值，利用正弦定理得到c=3b，即為||=3||，同時(shí)由cosC的值小于0，得到C為鈍角，可得A為銳角，由第一問(wèn)求出的sinA的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，即為與兩向量的夾角，利用化簡(jiǎn)公式=|a|，化簡(jiǎn)|+|，利用完全平方公式展開(kāi)后，根據(jù)模的定義及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)，將||=3||代入，開(kāi)方后用||表示出即為|+|，設(shè)所求兩向量的夾角為α，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算積運(yùn)算法則表示出cosα，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)后，將||=3||代入，約分后得到cosα的值，由α的范圍，利用反三角函數(shù)即可表示出α，即為向量+與的夾角．
解答：解：（Ⅰ）∵cosB=，且B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB==，…（2分）
又cosC=-，且C為三角形的內(nèi)角，
∴sinC==，…（4分）
則sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）
=sinBcosC+cosBsinC=×（-）+×=；…（6分）
（Ⅱ）∵sinB=，sinC=，
由正弦定理=得：c=3b，即||=3||，…（8分）
由（Ⅰ）知sinA=，且C為鈍角，得到A=，
∴與的夾角為，
|+|==
==||，…（10分）
設(shè)向量+與的夾角為α，
∴cosα====，…（12分）
則α=arccos．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及向量模的計(jì)算，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．